ความงดงาม” ของการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์

“ความงดงาม” ของการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์

คณิตศาสตร์ ในที่นี้หมายความเฉพาะเจาะจงถึงคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ที่ว่าด้วยทฤษฎีบทและการพิสูจน์แต่ไหนแต่ไรมา ข้อคาดเดาทางคณิตศาสตร์มีทางเป็นสองทางคือ “ได้รับการพิสูจน์แล้ว” หรือ “ยังไม่ได้รับการพิสูจน์” บทพิสูจน์จะต้องเป็นไปอย่างมีขั้นตอนเป็นระบบระเบียบตามหลักของตรรกศาสตร์ และ “ความงดงาม” ของการพิสูจน์ทาง คณิตศาสตร์นี้เองที่เป็นเสน่ห์เฉพาะตัวที่หาไม่ได้ในศาสตร์อื่น หลักการและปรัชญาของการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ทำให้ “เงื่อนไข” ของการค้นพบใหม่ ๆ ทางคณิตศาสตร์แตกต่างไปจากศาสตร์อื่นๆ ในขณะที่ในหลายประเทศยังไม่ได้ข้อสรุปที่ว่า ควรหรือมิควรอนุญาตให้ใช้เครื่องคำนวณในการสอบ ที่ Royal Society สหราชอาณาจักร ก็มีการประชุมอภิปรายถึงเงื่อนไขของการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ว่าจะยอมรับการนำคอมพิวเตอร์เข้ามาใช้ในการพิสูจน์หรือไม่กว่าสามสิบปีมาแล้วที่มีการนำคอมพิวเตอร์เข้ามาช่วยในการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ ที่เป็นที่รู้จักกันกว้างขวางก็คือ “ทฤษฎีสี่สี” (Four Colour Theorem) ที่ว่าสี่สีเท่านั้นก็เพียงพอสำหรับการระบายสีในแผนที่ใดๆ โดยให้ประเทศที่อยู่ติดกันมีสีไม่ซ้ำกัน ทฤษฎีดังกล่าวได้รับการพิสูจน์ในปี พ.ศ.2519 โดย Kenneth Appel และ Wolfgang Haken ซึ่งเขาทั้งสองได้นำคอมพิวเตอร์มาใช้ในการตรวจสอบกรณีต่าง ๆ ที่เป็นไปได้ อย่างไรก็ตาม นักคณิตศาสตร์จำนวนหนึ่งมองว่า การนำคอมพิวเตอร์มาใช้ในการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ไม่ต่างอะไรกับการโกง ดูเหมือนว่าหนทางของการนำคอมพิวเตอร์มาช่วยพิสูจน์ให้เป็นที่ยอมรับยังคงไม่สว่างไสวเท่าที่ควร หากวารสารทางวิชาการ “Annals of Mathematics” กำลังมีนโยบายที่จะเปิดรับบทพิสูจน์ที่มาจากคอมพิวเตอร์มากขึ้น หากเงื่อนไขในการพิจารณาบทพิสูจน์ที่ใช้ “สมองกล”จะต้องแตกต่างจากบทพิสูจน์ที่ใช้ “สมองคน” ก็คงจะต้องติดตามกันต่อไปว่า คณิตศาสตร์จะถึงคราวต้องกลายพันธุ์หรือไม่
ผู้เขียน : โกสุม กรีทอง อยู่ในส่วน : วิชาการ.คอม >> vMath >> สารคดีคณิตศาสตร์
ที่มาของเรื่อง : Rachel Thomas, “Welcome to the Maths Lab”
http://plus.maths.org/latestnews/sep-dec04/kepler/index.html retrieved

โดนัทในอุดมคติ

“โดนัทในอุดมคติ”

ใช่แล้วค่ะเรากำลังพูดถึง โดนัทโรยหน้าด้วยน้ำตาลแสนอร่อย โดนัทถ้าจะให้อร่อย ต้องโรยน้ำตาลให้ทั่วชิ้นโดนัทใช่หรือไม่ โดนัทในอุดมคติของผู้เขียนนอกจากจะอร่อยแล้วจะต้องดูดี นั่นคือ น้ำตาลที่โรยไปลงบนชิ้นโดนัทจะต้องมีการกระจายอย่างสม่ำเสมอ ไม่ไปเกาะตัวหนาแน่นอยู่ ณ จุดใดจุดหนึ่งบนชิ้นโดนัทแล้วทำอย่างไรเราจึงจะได้มาซึ่งโดนัทในอุดมคตินั้นเล่า คำตอบแบบกำปั้นทุบดินก็คือ “ก็ไปถามคนทำโดนัทดูสิ” อย่างไรก็ตามนักคณิตศาสตร์ก็มีคำตอบให้เหมือนกัน Ed Saff และ Doug Hardin นักคณิตศาสตร์จาก Vanderbilt University สหรัฐอเมริกา ได้ทำการศึกษาเกี่ยวกับการกระจายของจุดบนพื้นผิวชนิดต่าง ๆ และได้ค้นพบวิธีใหม่ที่จะได้มาซึ่งพื้นผิวที่มีการกระจายของจุ *** ย่างสม่ำเสมอ (นั่นคือ ระยะห่างระหว่างแต่ละจุดเท่ากัน) หลักการของพวกเขาตั้งอยู่บนสมมติฐานที่ว่า ระหว่างจุดใด ๆ จะมีแรงผลักระหว่างจุด ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดใดๆ จึงขึ้นอยู่กับแรงผลักระหว่างจุดสองจุดนั้น ๆ สำหรับระบบที่อยู่ในภาวะสมดุล แรงผลักระหว่างอนุภาคคู่ใด ๆ จะแปรผกผันกับระยะห่างระหว่างอนุภาคยกกำลัง n (นั่นคือ รูปทั่วไปของ inverse square law นั่นเอง) โดยพวกเขากำหนดให้ค่า n ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ s เมื่อ s มีค่าน้อย จะเสมือนว่าแต่ละจุดมีแรงพิสัยกว้าง (long-range force) มากระทำ (ตัวอย่างของแรงพิสัยกว้าง เช่น แรงโน้มถ่วง แรงแม่เหล็กไฟฟ้า) เมื่อ s มีค่ามากจะเสมือนว่าแต่ละจุดมีแรงพิสัยแคบ (short-range force) มากระทำ (ตัวอย่างของแรงพิสัยแคบ เช่น แรงดึงดูดระหว่างอะตอม) ลักษณะการวางตัวของจุดภายใต้แรงกระทำระหว่างจุดที่มีพิสัยกว้างและพิสัยแคบ แสดงโดยการกระจายของจุดบนพื้นผิวทอรัส ดังภาพ เมื่อ s มีค่าน้อย จุดจะมากระจุกรวมกันที่ขอบด้านนอกของทอรัส เมื่อ s มีค่ามากขึ้น จุดจะกระจายตัวออกห่างกันมากขึ้น จนกระทั่งถึงค่าวิกฤตของ s ซึ่งจุดจะกระจายตัวอย่างสม่ำเสมอทั่วพื้นผิวทั้งหมด เมื่อ s มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับค่าวิกฤต ระยะห่างระหว่างแต่ละจุดจะเท่ากัน (หรือใกล้เคียง) ถ้าแทนจุดด้วยอนุภาคของน้ำตาลและแทนทอรัสด้วยโดนัท ค่าวิกฤตของ s นี้เองที่จะให้ “โดนัทในอุดมคติ” สิ่งที่ Saff และ Hardin ได้ค้นพบก็คือ ค่าวิกฤตของ s เท่ากับจำนวนมิติของพื้นผิวที่จุดกระจายอยู่ ในกรณีพื้นผิวของทอรัส (หรือโดนัท) ซึ่งมีสองมิติ ค่าของ s มากกว่าหรือเท่ากับ 2 จะให้จุดที่กระจายไปทั่วพื้นผิวทอรัสโดยมีระยะห่างระหว่างจุดเท่ากัน (ในกรณีของโดนัทโรยน้ำตาล ค่าs มากกว่าหรือเท่ากับ 2 จะให้โดนัทในอุดมคติที่
อณูของน้ำตาลกระจายตัวอย่างสม่ำเสมอที่สุด)

ไม่เพียงแต่โดนัทเท่านั้น แนวคิดดังกล่าวสามารถนำไปใช้อธิบายปรากฏการณ์ทางธรรมชาติต่าง ๆ เช่น การกระจายของสปอร์ในเกสรตัวผู้ การกระจายของอิเล็กตรอนบนพื้นผิวของทรงกลม โครงสร้างพื้นผิวของไวรัสบางชนิด ตำแหน่งของรอยแตกในโครงสร้างผลึก นอกจากนี้ยังสามารถนำไปประยุกต์ใช้ในงานคอมพิวเตอร์กราฟฟิค การวางตำแหน่งโซนาร์สำหรับตรวจหาเรือดำน้ำ และการทดสอบระบบเรดาร์ในอากาศยาน สำหรับผู้ที่สนใจแนวคิดของ Saff และ Hardin ว่ามีความเป็นมาเป็นไปอย่างไร สามารถหาอ่านได้ในเว็บไซต์ของ Notices of the American Mathematical Society ที่ url http://www.ams.org/notices/200410/fea-saff.pdf
ผู้เขียน : โกสุม กรีทอง อยู่ในส่วน : วิชาการ.คอม >> vMath >> สารคดีคณิตศาสตร์
ที่มาของเรื่อง : Rachel Thomas, “Mouthwatering maths”
http://plus.maths.org/latestnews/sep-dec04/bagel/index.html

เรขาคณิตกับสิงมีชีวิตเล็กๆ

เรขาคณิตกับสิงมีชีวิตเล็กๆ

ท่านผู้อ่านทราบหรือไม่ว่า สิ่งมีชีวิตขนาดกระจ้อยร่อยอย่างมดก็จำเป็นต้องใช้เรขาคณิตกับเขาด้วยเหมือนกัน
โดยธรรมชาติของมด มดจะเดินทางบนเส้นทางที่กำหนดไว้โดยฟีโรโมน เส้นทางที่ว่าแตกแขนงออกเป็นหลายแยก หลายสาย คำถามก็คือ มดหาทางกลับรังถูกได้อย่างไร? มดเคยหลงทางบ้างหรือไม่? และผู้ที่สามาถให้คำตอบได้ก็คือคณะนักวิจัยจากมหาวิทยาลัยเชฟฟิลด์ สหราชอาณาจักร
Duncan Jackson และคณะได้ทำการศึกษาพฤติกรรมของมดและตั้งข้อสังเกตว่ามดสปีชีส์ Monomorium Pharaonis และแมลงที่กัดกินใบหลายสปีชีส์สร้างทางเดินออกจากรัง โดยแต่ละเส้นทางที่แตกแขนงออกไปนั้นจะทำมุมระหว่าง 50 – 60 องศา ในการเดินทางกลับรัง เมื่อมดพบทางแยก มันจะเลือกทางที่เบี่ยงน้อยที่สุด คณะของ Duncan ได้ทำการทดลองให้มดเดินทางในเส้นทางจำลองที่คณะของเขาสร้างขึ้น โดยกำหนดให้แต่ละเส้นทางมีทางแยกแตกแขนงออกไปโดยทำมุมขนาดต่าง ๆ กัน แล้วสังเกตว่ามดจะหาทางกลับรังถูกหรือไม่ ผลการทดลองพบว่า มุมที่ดีที่สุดสำหรับมดก็คือ 60 องศา เมื่อเพิ่มขนาดของมุมจาก 60 องศาไปจนถึง 120 องศา โอกาสที่มดจะกลับรังถูกยิ่งน้อยลง ดังนั้นในการสร้างทางเดินของมด เส้นทางที่แตกแขนงออกไปจะทำมุมประมาณ 60 องศา เพื่อลดโอกาสที่จะเสียพลังงานโดยใช่เหตุเนื่องจากเดินหลงทาง เห็นหรือไม่ว่า ฟีโรโมนอย่างเดียวไม่พอที่จะช่วยให้มดไม่หลงทาง ต้องมีเรขาคณิตเป็นปัจจัยเสริมด้วย
ผู้เขียน : โกสุม กรีทอง อยู่ในส่วน : วิชาการ.คอม >> vMath >> สารคดีคณิตศาสตร์
ที่มา : Anna Gosline, “New angle on ants' scents of direction” in NewScientist.com news service 15 Dec 2004, url:
http://www.newscientist.com/article.ns?id=dn6801

จดหมาย

ความรู้สึกที่ Hardy ระลึกได้เมื่อเขาเห็นสูตรคณิตศาสตร์ของ Ramanujan เป็นครั้งแรก คือนี่เป็นจดหมายจากพวกจิตไม่ว่าง แต่เมื่อได้พินิจพิเคราะห์อย่างละเอียด เขารู้สึกเฉลียวใจว่า นี่ไม่ใช่ผลงานระดับธรรมดา แต่เป็นผลงานของเทวดา ดังนั้น เพื่อความมั่นใจ Hardy จึงได้เชิญ John E. Little Wood แห่ง Trinity College ซึ่งเป็นผู้เชี่ยวชาญวิชา calculus และ number theory มาช่วยดูคนทั้งสองใช้เวลานานประมาณ 3 ชั่วโมง ในการตรวจสอบ และมีความเห็นว่าผลงานเรื่อง infinite series, infinite products, continued fractions และ integrals ที่ Ramanujan เขียนมานั้น เป็นผลงานของปราชญ์คณิตศาสตร์ ที่แม้แต่ Hardy และ Little Wood เองก็ไม่มีความสามารถสูงเท่า แต่เมื่อ Ramanujan มิได้แสดงวิธีพิสูจน์สูตรเหล่านั้น Hardy จึงคิดว่า คงเป็นเพราะ Ramanujan ไม่ต้องการให้คนแปลกหน้า เช่น Hardy ล่วงรู้วิธีพิสูจน์ของตน ดังนั้น Hardy จึงตัดสินใจเขียนจดหมายเชิญ Ramanujan มาทำงานร่วมกับเขาที่มหาวิทยาลัย Cambridge ในประเทศอังกฤษ โดยสัญญาจะให้เงินค่าเดินทาง และค่ากินอยู่มากกว่าเงินที่ Ramanujan รับอยู่ในอินเดียประมาณ 30 เท่าในเบื้องต้น Ramanujan ปฏิเสธที่จะไปอังกฤษ โดยอ้างเหตุผลเกี่ยวกับศาสนาของตนที่ห้ามการเดินทางไปต่างประเทศ แต่ Hardy ก็ไม่ได้ละความพยายาม จึงมอบหมายให้ E. H. Neville ผู้เป็นเพื่อนของ Hardy ซึ่งทำงานอยู่ในอินเดียเดินทางไปพบ Ramanujan ที่ Madras และเมื่อมารดาของ Ramanujan ฝันว่า เทพธิดา Namagiri ทรงยินยอมให้ Ramanujan เดินทางไปอังกฤษได้ ดังนั้น ในวันที่ 17 มีนาคม พ.ศ. 2457 Ramanujan ออกเดินทางไปหา Hardy ที่ Cambridge และเดินทางถึงในอีก 1 เดือนต่อมาการมาพบ Hardy ในครั้งนั้น ถือได้ว่าเป็นจุดหักเหสู่ความยิ่งใหญ่ที่เป็นอมตะของ Ramanujan ทั้งนี้เพราะ Ramanujan ไม่ได้รับการศึกษาที่เป็นระบบ ดังนั้น วิธีคิดต่างๆ ของ Ramanujan จึงไม่เหมือนนักคณิตศาสตร์ทั่วไป เช่น เขารู้เรื่อง elliptic modular, functions ดีมาก แต่ไม่รู้เรื่อง double periodicity เลย ทั้งๆ ที่สองเรื่องนี้เกี่ยวข้องกัน และรู้เรื่อง analytic number theory จนทะลุปรุโปร่ง แต่ไม่ประสีประสาเรื่อง Complex analysis การรู้บ้างไม่รู้บ้างเช่นนี้ เมื่อได้ Hardy ช่วย ทำให้ Ramanujan มีความสามารถสมบูรณ์ขึ้น แต่ Hardy จึงยอมรับว่า เขาเรียนรู้จาก Ramanujan มากกว่าที่ Ramanujan ได้เรียนรู้จากเขาตลอดเวลา 5 ปีที่พำนักในอังกฤษ Ramanujan ได้ตีพิมพ์งานวิจัย 21 เรื่อง และงานหลายชิ้นเป็นงานที่ทำร่วมกับ Hardy ซึ่งก็ได้ทำให้ Hardy มีชื่อเสียงด้วย Hardy เองได้พยายามทำให้วงการคณิตศาสตร์โลกยอมรับความสามารถของ Ramanujan โดยได้เสนอให้ Ramanujan ดำรงตำแหน่งศาสตราจารย์คณิตศาสตร์แห่งมหาวิทยาลัย Cambridge และเสนอให้ Ramanujan เป็น Fellow of the Royal Society (FRS) อันทรงเกียรติด้วย เมื่อข้อเสนอของ Hardy บรรลุผล Ramanujan ก็ได้เป็นคนอินเดียคนแรกที่ได้รับเลือกให้เป็น FRSถึงแม้ชีวิตทำงานจะรุ่งโรจน์มาก แต่ชีวิตส่วนตัวของ Ramanujan ขณะพำนักในอังกฤษ มิได้ราบรื่นเลย ทั้งนี้เพราะ Ramanujan ชอบอาหารมังสวิรัติที่มีผักมากๆ แต่ในอังกฤษผักเป็นอาหารหายาก ดังนั้น Ramanujan จึงต้องขอให้ครอบครัวในอินเดียส่งข้าวมาหุงกินเอง การไม่มีภรรยาติดตามมาดูแล ทำให้ Ramanujan ต้องทำงานทั้งหลวงและราษฎร์ด้วยตนเอง และเมื่ออากาศหนาวจัด การทำงานหนักที่ต่อเนื่องนาน 24-36 ชั่วโมงในบางครั้ง ทำให้สุขภาพของ Ramanujan อ่อนแอลงมาก จนป่วยหนักเพราะร่างกายขาดสารอาหาร เช่น วิตามิน B-12 และเมื่อถึงเดือนพฤษภาคม พ.ศ. 2460 แพทย์ได้วินิจฉัยพบว่า Ramanujan เป็นวัณโรค และโรคตับอักเสบ จึงต้องถูกแยกตัว และกักบริเวณ ทำให้ Ramanujan เป็นโรคซึมเศร้าเพิ่มอีกหนึ่งอาการHardy ได้พยายามให้กำลังใจเพื่อนร่วมงาน โดยการแวะเยี่ยมและเล่าว่า แม้ป่วย Ramanujan ก็ยังครุ่นคิดเรื่องเลข เพราะเวลา Hardy กล่าวเปรยๆ ว่า แท็กซี่ที่ Hardy นั่งมามีเลขทะเบียน 1729 ซึ่งเป็นจำนวนที่ไม่น่าสนใจเลย แต่ Ramanujan ได้กล่าวแย้งทันทีว่า 1729 น่าสนใจมาก เพราะเป็นจำนวนเต็มที่น้อยที่สุด ที่สามารถเขียนเป็นผลบวกของเลขยกกำลังสามได้สองรูปแบบคือ 1729 = 13+123 หรือ + 93+103เมื่อสุขภาพทรุดหนัก หนทางเดียวที่จะทำให้ Ramanujan รู้สึกดีขึ้นคือ เขาต้องเดินทางกลับอินเดียไปอยู่กับบรรดาญาติพี่น้อง และครอบครัว ดังนั้น ในปี พ.ศ. 2462 Ramanujan ก็ได้เดินทางกลับอินเดียเพื่อรักษาตัว และไปดำรงตำแหน่งศาสตราจารย์คณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัย Madras แต่เมื่อเดินทางถึงบ้านเกิดเมืองนอน แทนที่จะรักษาตัวอย่างระมัดระวัง Ramanujan กลับหมกมุ่นวิจัยเรื่อง theta functions จนป่วยหนัก และเสียชีวิตที่เมือง Chetput ซึ่งอยู่ใกล้กรุง Madras เมื่อวันที่ 26 เมษายน พ.ศ. 2463 ขณะมีอายุเพียง 32 ปีข่าวการเสียชีวิตของ Ramanujan ได้ทำให้วงการคณิตศาสตร์ทั่วโลกตกใจ และเสียใจมากที่ได้สูญเสียนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่คนหนึ่งของโลกไป ขณะที่มีอายุยังน้อย และถึงแม้ Ramanujan จะไม่ได้เก่งในศาสตร์หลายสาขา เช่น ฟิสิกส์ ดาราศาสตร์ และคณิตศาสตร์เหมือน Karl Friedrich Gauss หรือ Henri Poincare แต่โลกก็ยอมรับว่า คณิตศาสตร์ของ Ramanujan นั้นบริสุทธิ์สุดๆ คือ Ramanujan ทำงานวิจัยคณิตศาสตร์เพื่อคณิตศาสตร์ โดยไม่คำนึงว่าคณิตศาสตร์ที่ตนคิดได้มีประโยชน์ต่อศาสตร์อื่นหรือไม่ ณ วันนี้คำถามหนึ่งที่ได้ทำให้โลกวิชาการฉงนมากคือ ทั้งๆ ที่ Ramanujan ไม่ได้รับการศึกษาสูง แต่เก่งคณิตศาสตร์มาก เพราะเหตุใดซึ่ง Hardy ก็ตอบว่า การไม่เรียนในระบบทำให้สมอง Ramanujan ผลิตงานที่ยิ่งใหญ่ได้ ในขณะที่คนทั่วไปที่ได้รับการศึกษาเต็มรูปแบบ ผลิตงานที่ยิ่งใหญ่ไม่ได้เลยMac Kac นักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ได้เคยแบ่งอัจฉริยชนออกเป็น 2 กลุ่มคือ อัจฉริยะธรรมดากับอัจฉริยะมหัศจรรย์ โดยในกลุ่มธรรมดานั้น Kac กล่าวว่า หากคนทั่วไปฉลาดขึ้น 100 เท่า ก็จะสามารถทำได้ดีเท่า แต่ในกลุ่มมหัศจรรย์นั้น ไม่มีใครรู้ว่า คนเหล่านี้คิดอะไรต่างๆ ได้อย่างไร Ramanujan กับ Einstein คือบุคคลตัวอย่างในกลุ่มเทวดาประเภทนี้เมื่อ Ramanujan ใกล้ตาย ภรรยาของ Ramanujan ได้เล่าว่า สามีได้ทิ้งสมุดบันทึกซึ่งมีสูตรประมาณ 4,000 สูตรไว้หลายเล่ม แต่ครูเก่าของ Ramanujan ที่มหาวิทยาลัย Madras ได้มาหยิบไป ทำให้ ณ วันนี้โลกมีผลงานของ Ramanujan ไม่ครบ ถึงกระนั้นผลงานที่ปรากฏก็มีประโยชน์ต่อคนในหลายวงการ เช่น Rodney J. Baxter แห่ง Australian National University ได้พบว่า ในการแก้ปัญหาการเปลี่ยนสถานะของสสาร เขาต้องใช้สูตรสำเร็จของ Ramanujan หรือในทฤษฎี String ทั้ง Edward Witten และ Steven Weinberg ต่างก็ได้พบว่า เวลาคำนวณฟิสิกส์ใน 10 มิติ เขาต้องใช้สูตรของ Ramanujan เช่นกัน
ชีวประวัติของปราชญ์คณิตศาสตร์คนนี้ แสดงให้เห็นว่า วันหนึ่งถ้าคุณได้รับจดหมายที่มีสูตรคณิตศาสตร์ประหลาดๆ ก็อย่าเพิ่งขยำจดหมายทิ้งลงถังขยะ เราอาจมีเพชร เช่น Ramanujan แห่งเมืองไทยที่กำลังต้องการความช่วยเหลือขึ้นมาเจียระไนก็ได้
สุทัศน์ ยกส้าน ภาคีสมาชิก ราชบัณฑิตยสถาน

บทบาทของพ่อแม่เกี่ยวกับกระบวนการเรียนรู้คณิตศาสตร์ของลูก

- การเรียนรู้ของเด็กจะเริ่มในทันทีที่เด็กเกิด มิได้เริ่มเรียนรู้เมื่อไปโรงเรียน กระบวนการเรียนรู้เป็นกระบวนการต่อเนื่อง เริ่มที่บ้าน เรียนรู้จากประสบการณ์ จากการพูดคุยกับพ่อ แม่ พี่ น้อง จากเพื่อน และจากบุคคลอื่นรอบ ๆ ตัว พ่อแม่มีพิทธิพลต่อพัฒนาการทางการเรียนรู้ของลูกเป็นอย่างมาก เจตคติและความสนใจของพ่อแม่จะมีอิทธิพลต่อเจตคติและความสนใจต่อการเรียนรู้ของลูกด้วย

"ศิษย์เก่งเลขครูรักเป็นนักหนา" คำโบราณนี้ยังเป็นจริงอยู่ จะเห็นได้จากในปัจจุบันโรงเรียนขาดครูคณิตศาสตร์ หาครูคณิตศาสตร์ได้ยาก ในระดับอุดมศึกษา นักศึกษาเลือกเรียนคณิตศาสตร์เป็นวิชาเอกจำนวนน้อยลง จนต้องมีโครงการให้ทุนเรียนก็ยังมีผู้สมัครรับทุนไม่ครบจำนวน เพราะเรียนยาก แล้วเราจะพัฒนาประเทศได้อย่างไร ในเมื่อเทคโนโลยีทั้งหลายต้องใช้คณิตศาสตร์เป็นพื้นฐาน

- ในฐานะพ่อแม่ ท่านมีโอกาสอย่างมากที่จะช่วยพัฒนา บ่มเพาะทักษะทางคณิตศาสตร์ให้แก้ลูกตั้งแต่เขายังไม่เข้าโรงเรียน
- สิ่งง่าย ๆ ที่ท่านควรจะเริ่มต้นฝึกทักษะทางคณิตศาสตร์ให้แก่ลูก คือการคาดคะเน หรือการเดาอย่างมีเหตุผล หรือภาษาทางคณิตศาสตร์เรียกว่าการประมาณค่า ซึ่งเป็นสิ่งที่ทุกคนต้องใช้ในชีวิตประจำวัน ไม่ว่าในการไปจับจ่ายซื้อของ การเดินทางการหุงหาอาหาร ทำความสะอาดบ้าน การกินอยู่หลับนอน การประกอบอาชีพ ฯลฯ เรียกได้ว่าการประมาณค่าจะมีส่วนเข้ามาเกี่ยวข้องในทุกอย่างก้าวของชีวิต ในฐานะผู้ใหญ่เราอาจใช้การประมาณค่าสูงถึง 80 % แทนการคิดคำนวนที่ต้องคิดอย่างถูกต้องด้วยวิธีคำนวนหรือด้วยเครื่องคิดเลข

- เมื่อการประมาณค่าเป็นสิ่งจำเป็นต่อชีวิตท่านจะช่วยลูกหลานของท่านให้มีทักษะด้านนี้ได้อย่างไรแม้ว่าโรงเรียนจะสอนเรื่องการประมาณค่า แต่ท่านสามารถเริ่มต้นได้ที่บ้านก่อนลูกเข้าโรงเรียน เมื่อใดก็ตามที่สถานการณ์อำนวยท่านสามารถเริ่มได้ทันที เช่นที่โต๊ะอาหาร มีทอดมันในจาน 8 ชิ้นพ่อแม่ ลูกอีก2 คน จะได้รับประทานคนละกี่ชิ้น หรือไปซื้อของที่ตลาดสด หรือติดแอร์ก็ตาม มีเงินไป 200 บาท เมื่อดูราคาของแล้วจะได้อะไรมาบ้างจึงจะพอดีกับเงินหรือไปรับประทานอาหารนอกบ้านมีเงินไป 500 บาท ดูรายการอาหารแล้วจะสั่งอะไรได้บ้าง เป็นต้น ได้มีการศึกษาค้นคว้าหลายเรื่อง เกี่ยวกับเรื่องเด็กและการประมาณค่า พอสรุปได้ดังนี้

• ถ้าไม่มีการสอนและฝึกอบรมในเรื่องนี้ เมื่อถูกกำหนดให้ทำการประมาณค่าเด็กจะทำไม่ได้หรือได้ไม่ดี


• ในชีวิตประจำวัน จะต้องกระตุ้นเด็กอยู่เสมอให้เห็นประโยชน์ของการประมาณค่า


• การสอนและฝึกปฏิบัติอยู่เป็นประจำ เด็กจะสามารถประมาณได้อย่างรวดเร็ว


• เด็กจะสนุกกับการประมาณค่า เมื่อเขาตระหนักถึงความสำคัญและได้เรียนรู้เทคนิดของการประมาณค่า

- ในห้องเรียนนั้นเวลาส่วนใหญ่จะใช่ไปในการคำนวนคำตอบที่ถูกต้อง ไม่มีการคำนวนคำตอบที่ใกล้เคียง ซึ่งสิ่งนี้เป็นสิ่งที่พ่อแม่มีส่วนช่วยเติมเต็มได้ ในชีวิตจริงเราใช้การประมาณค่ามากกว่าการหาค่าที่ถูกต้องดังกล่าวแล้วข้างต้น พ่อแม่จึงควรเสริมแรงด้วยกิจกรรมต่าง ๆ เกี่ยวกับการเดา การคาดคะเนอย่างสมเหตุควบคู่ไปกับการคำนวณคำตอบที่ถูกต้อง


- ก่อนที่เด็กจะนับเป็น เขาสามารถที่จะคาดคะเนหรือประมาณค่าได้แล้วจากการเล่น เช่น การตักทรายใส่กระป๋อง หรือการกระโดดข้ามสิ่งกีดขวาง การหยิบดินสอนสีใส่กล่อง เป็นต้น เมื่อเขาเติบโตขึ้นเขาก็จะสามารถประมาณค่าจำนวนของสิ่งต่าง ๆ ในโลกได้อย่างใกล้เคียง พ่อแม่สามารถช่วยลูกให้เป็นนักประมาณค่าที่ดีโดยใช้ประสบการณ์การประมาณค่าของท่านเองคุยกับลูก เช่น ขณะที่ไปซื้อของหรือดูโฆษณาราคาของในหนังสือพิมพ์ว่าของสิ่งใดแพงหรือถูกกว่ากันเท่าไร ควรซื้ออย่างไหน เพราะอะไร หรือดูประกาศรับสมัครพนักงานว่าได้ค่าจ้างต่อเดือนเท่าไร ประมาณค่าดูว่าปี หนึ่งนายจ้างจะต้องเสียค่าจ้างเท่าไร เป็นต้น

การได้เรียนรู้เทคนิคการประมาณค่า จะยังประโยชน์หลายสถานแก่เด็กของท่านดังนี้

• เนื่องจากมีการใช้เครื่องคิดเลขอย่างแพร่หลายในปัจจุบันทักษะการประมาณค่ายิ่งมีความสำคัญ
  มากขึ้นการประมาณค่าจะช่วยให้เด็กตระหนักถึงคำตอบที่ผิดพลาดที่ปรากฏบนเครื่องคิดเลขได้


• ความตระหนักในการประมาณค่าที่เด็กใช้อยู่บ่อย ๆ ในชีวิตประจำวันจะช่วยให้เด็กเห็นประโยชน์
  ของวิชาคณิตศาสตร์


• ทักษะในการประมาณค่าจะช่วยทักษะในการคิดคำนวณให้ดีขึ้น โดยช่วยเด็กให้ประมาณค่าคำ
  ตอบได้อย่างมีเหตุผล


• กระบวนการประมาณค่าเกี่ยวข้องกับเทคนิคการแห้ปัญหาอย่างใกล้ชิด ขณะที่เด็กมีทักษะในการ
  ประมาณค่าสูงขึ้น เด็กจะพัฒนาในด้านกระบวนการคิดด้วย


• เมื่อเด็กรู้สึกคล่องกับกระบวนการ แล้วเด็กจะชอบประมาณค่า หน้าที่ของพ่อแม่คือช่วยให้เขาได้
  พัฒนาเจตคติที่ดีต่อการเรียนวิชาคณิตศาสตร์

- ถ้าท่านต้องการจะช่วยให้เด็กของท่านพัฒนาทักษะด้านการประมาณ ท่านควรปฏิบัติดังนี้

- ฉวยโอกาสประมาณค่าในทุก ๆ กรณีแล้วแลกเปลี่ยนประสบการณ์และกระบวนการคิดกับเด็กของท่านเด็กของท่านก็จะได้ประโยชน์จากการถกเถียงปัญหาเกี่ยวกับวิธีการที่เขาได้ประมาณค่านั้น ท่านต้องเปิดใจและพร้อมที่ถกเถียงปัญหากับเขา ตัวท่านเองอาจจะได้เทคนิคใหม่ ๆ เกี่ยวกับการประมาณค่าเพิ่มขึ้นอีกก็ได้

ที่มา www.school.net.th/library/snet2/paper/math_parent.htm

การแก้โจทย์ปัญหาทางคณิตศาสตร์

ความสำคัญในการพัฒนาทักษะ และ โจทย์ปัญหา ในวิชา คณิตศาสตร์

วิชา คณิตศาสตร์ เป็นวิชาหนึ่งในกลุ่มทักษะที่เป็นเครื่องมือในการเรียนรู้ คือ เป็นวิชาที่จะนำไปสู่การเรียนรู้ในกลุ่มประสบการณ์อื่นๆ และการเรียนในระดับสูง เป็นวิชาที่ช่วยพัฒนาคนให้รู้จักคิด และ คิดเป็น คือ คิดอย่างมีเหตุผล มีระเบียบขั้นตอนในการคิด สามารถ แก้ โจทย์ปัญหา ได้ นอกจากนั้นยังช่วยสร้างเสริมคุณลักษณะที่จำเป็นต่อการดำรงชีวิตอื่นๆ เช่น การสังเกต ความละเอียด ถี่ถ้วน แม่นยำ มีสมาธิและรู้จักแก้ปัญหา และโดยเฉพาะอย่างยิ่งในชีวิตประจำวัน เราต้องใช้ความรู้ และ ทักษะทาง คณิตศาสตร์ เกือบตลอดเวลา เช่น การประมาณค่า การซื้อขาย การดูเวลา การชั่ง การตวง การวัด และ อื่นๆ อีกมากที่เกี่ยวกับจำนวน และ ตัวเลข อาจกล่าวได้ว่า คณิตศาสตร์ เป็นวิชาทักษะที่สำคัญ และสัมพันธ์กับชีวิตประจำวันอย่างแยกกันไม่ได้ ด้วยความสำคัญดังกล่าวมาแล้วข้างต้น การสอน คณิตศาสตร์ เพียงเพื่อให้นักเรียนเกิดความรู้ความเข้าในใจเนื้อหาหลักของ คณิตศาสตร์ เท่านั้นยังไม่เพียงพอ แต่ครู คณิตศาสตร์ จำเป็นต้องสอนให้นักเรียนเห็นคุณค่าและเกิดทักษะในการคิดคำนวณ จนสามารนำไปใช้ในชีวิตประจำวัน การนำประสบการณ์ไปใช้ในชีวิตประจำวัน ซึ่งเป็นส่วนที่เกี่ยวข้องกับการแก้ โจทย์ปัญหา ดังนั้นการเรียนการสอน คณิตศาสตร์ จึงจำเป็นต้องเน้นการพัฒนาความสามารถของนักเรียนในการแก้ โจทย์ปัญหา การแก้ปัญหาเป็นพฤติกรรมพื้นฐานของมนุษย์ ทุกขณะที่มนุษย์มีสติสัมปชัญญะอยู่กับตัวจะต้องเกี่ยวข้องกับปัญหา เพราะว่าขณะที่มนุษย์รู้สึกตัว สมองของมนุษย์รู้สึกตัว สมองของมนุษย์จะคิดอยู่ตลอดเวลา และ การคิดนั้นต้องมีเป้าหมาย แต่การจะไปสู่เป้าหมายได้มนุษย์จะต้องมีการ แก้ปัญหา นอกจากนี้สมาคมครูผู้สอน คณิตศาสตร์ แห่งชาติ (National Council Teachers of Mathematics) ได้กล่าวไว้ว่า การเรียนการ แก้โจทย์ปัญหา เป็นจุดประสงค์หลักของการเรียนวิชา คณิตศาสตร์ หรือ จุดมุ่งหมายที่แท้จริงในการสอน คณิตศาสตร์ ก็คือ การทำให้นักเรียนสามารถแก้ปัญหาในชีวิตประจำวันได้




การสอนการแก้ โจทย์ปัญหา ทาง คณิตศาสตร์
องค์ประกอบที่มีอิทธิพลต่อการแก้ โจทย์ปัญหา
1. องค์ประกอบเกี่ยวกับภาษา ได้แก่ คำและความหมายต่างๆ ใน โจทย์ปัญหา แต่ละข้อว่ามีความหมายอย่างไร คำคำเดียวกันอยู่ต่างสถานการณ์กันอาจมีความหมายต่างกัน ซึ่งนักเรียนต้องเข้าใจเรื่องราวและสถานการณ์ของ โจทย์ปัญหา แต่ละข้อเป็นอย่างดี ฉะนั้นเทคนิควิธีการสอนแก้ โจทย์ปัญหา ครูผู้สอนจำเป็นอย่างยิ่งที่จะฝึกให้นักเรียนคุ้นเคยกับคำต่างๆ และ ความหมายของคำทุกคำใน โจทย์ปัญหา เปิดโอกาสให้นักเรียนอ่านโจทย์หลายๆ ครั้ง และ วิเคราะห์ โจทย์ปัญหา ทั้งหมดว่ามีกี่ตอน ตอนใดเป็นตอนที่ โจทย์ กำหนด ตอนไหนเป็นสิ่งที่ โจทย์ ต้องการทราบ และ สิ่งที่ โจทย์ กำหนดให้มาทั้งหมดมีความเกี่ยวพันธ์ เชื่อมโยง หรือสัมพันธ์กันอย่างไร จะต้องแปลความ ตีความ เพื่อหาคำตอบของ ปัญหา ได้ด้วยวิธีใด ซึ่งครูผู้สอนต้องฝึกให้ นักเรียนคิดได้ด้วยตนเอง
2. องค์ประกอบเกี่ยวกับความเข้าใจ เป็นขั้นตีความและแปลความจากข้อความทั้งหมดของ โจทย์ปัญหา มาเป็นประโยคสัญลักษณ์ที่นำไปสู่การหาคำตอบด้วยวิธีใด ซึ่งนักเรียนต้องคิดได้ด้วยตนเอง ถ้านักเรียนสามารถแปลความจาก โจทย์ปัญหา เป็นประโยคสัญญลักษณ์ได้ถูกต้อง แสดงว่ามีความเข้าใจและแก้ โจทย์ปัญหา ได้อย่างแน่นอน
3. องค์ประกอบเกี่ยวกับการคิดคำนวณ ขั้นนี้นักเรียนต้องมีทักษะ บวก ลบ คูณ หาร จำนวนต่างๆ ได้อย่างรวดเร็วและแม่นยำ
4. องค์ประกอบเกี่ยวกับการแสดงวิธีทำ ครูผู้สอนต้องฝึกให้นักเรียนสรุปความจากสิ่งที่ โจทย์ กำหนดให้ทั้งหมดมาเป็นความรู้ใหม่
5. องค์ประกอบในการฝึก ทักษะ การแก้ โจทย์ปัญหา ผู้สอนต้องเริ่มฝึกทักษะการแก้ โจทย์ปัญหา ให้แก่นักเรียนจากง่ายไปหายาก คือ เริ่มฝึกตามตัวอย่างหรือ เลียนแบบตัวอย่าง ฝึกทักษะจากการแปลความ และ ฝึกทักษะจากหนังสือเรียน




ปัญหาอุปสรรคและสาเหตุที่นักเรียนทำ โจทย์ปัญหา ไม่ได้

บรุคเนอร์ และครอสสนิกเกิล ได้กล่าวถึงอุปสรรคในการทำ โจทย์ปัญหา ของนักเรียนดังนี้

1. นักเรียนไม่สามารถเข้าใจ โจทย์ปัญหา ทั้งหมดหรือบางส่วนเนื่องจากขาด ประสบการณ์และขาดความเข้าใจใน โจทย์ปัญหา คณิตศาสตร์

2. นักเรียนบกพร่องในการอ่านและทำความเข้าใจ โจทย์ปัญหา

3. นักเรียนไม่สามารถคิดคำนวณได้ ซึ่งอาจมีสาเหตุมาจากนักเรียนลืมวิธีทำหรือไม่เคยเรียนมาก่อน

4. นักเรียนขาดความเข้าใจกระบวนการและวิธีการของ โจทย์ปัญหา จึงทำให้หาคำตอบโดยการเดาสุ่ม

5. นักเรียนขาดความรู้ในเรื่องกฎเกณฑ์และสูตร

6. นักเรียนขาดความเป็นระเบียบเรียบร้อยในการเขียนอธิบาย

7. นักเรียนไม่ทราบความสัมพันธ์เชิงปริมาณวิเคราะห์อาจมีสาเหตุมาจากการเรียนรู้ศัพท์เพียงจำนวนจำกัด หรือ ขาดความเข้าใจหลักเกณฑ์ทาง คณิตศาสตร์ ต่างๆ

8. นักเรียนขาดความสนใจ

9. ระดับสติปัญญาของนักเรียนต่ำเกินไป

10. ขาดการฝึกฝนในการทำ โจทย์ปัญหา


ที่มา www.sensemath.com/index.php?lay=show&ac=article&Id=527846&Ntype=2