ความงดงาม” ของการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์

“ความงดงาม” ของการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์

คณิตศาสตร์ ในที่นี้หมายความเฉพาะเจาะจงถึงคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ที่ว่าด้วยทฤษฎีบทและการพิสูจน์แต่ไหนแต่ไรมา ข้อคาดเดาทางคณิตศาสตร์มีทางเป็นสองทางคือ “ได้รับการพิสูจน์แล้ว” หรือ “ยังไม่ได้รับการพิสูจน์” บทพิสูจน์จะต้องเป็นไปอย่างมีขั้นตอนเป็นระบบระเบียบตามหลักของตรรกศาสตร์ และ “ความงดงาม” ของการพิสูจน์ทาง คณิตศาสตร์นี้เองที่เป็นเสน่ห์เฉพาะตัวที่หาไม่ได้ในศาสตร์อื่น หลักการและปรัชญาของการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ทำให้ “เงื่อนไข” ของการค้นพบใหม่ ๆ ทางคณิตศาสตร์แตกต่างไปจากศาสตร์อื่นๆ ในขณะที่ในหลายประเทศยังไม่ได้ข้อสรุปที่ว่า ควรหรือมิควรอนุญาตให้ใช้เครื่องคำนวณในการสอบ ที่ Royal Society สหราชอาณาจักร ก็มีการประชุมอภิปรายถึงเงื่อนไขของการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ว่าจะยอมรับการนำคอมพิวเตอร์เข้ามาใช้ในการพิสูจน์หรือไม่กว่าสามสิบปีมาแล้วที่มีการนำคอมพิวเตอร์เข้ามาช่วยในการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ ที่เป็นที่รู้จักกันกว้างขวางก็คือ “ทฤษฎีสี่สี” (Four Colour Theorem) ที่ว่าสี่สีเท่านั้นก็เพียงพอสำหรับการระบายสีในแผนที่ใดๆ โดยให้ประเทศที่อยู่ติดกันมีสีไม่ซ้ำกัน ทฤษฎีดังกล่าวได้รับการพิสูจน์ในปี พ.ศ.2519 โดย Kenneth Appel และ Wolfgang Haken ซึ่งเขาทั้งสองได้นำคอมพิวเตอร์มาใช้ในการตรวจสอบกรณีต่าง ๆ ที่เป็นไปได้ อย่างไรก็ตาม นักคณิตศาสตร์จำนวนหนึ่งมองว่า การนำคอมพิวเตอร์มาใช้ในการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ไม่ต่างอะไรกับการโกง ดูเหมือนว่าหนทางของการนำคอมพิวเตอร์มาช่วยพิสูจน์ให้เป็นที่ยอมรับยังคงไม่สว่างไสวเท่าที่ควร หากวารสารทางวิชาการ “Annals of Mathematics” กำลังมีนโยบายที่จะเปิดรับบทพิสูจน์ที่มาจากคอมพิวเตอร์มากขึ้น หากเงื่อนไขในการพิจารณาบทพิสูจน์ที่ใช้ “สมองกล”จะต้องแตกต่างจากบทพิสูจน์ที่ใช้ “สมองคน” ก็คงจะต้องติดตามกันต่อไปว่า คณิตศาสตร์จะถึงคราวต้องกลายพันธุ์หรือไม่
ผู้เขียน : โกสุม กรีทอง อยู่ในส่วน : วิชาการ.คอม >> vMath >> สารคดีคณิตศาสตร์
ที่มาของเรื่อง : Rachel Thomas, “Welcome to the Maths Lab”
http://plus.maths.org/latestnews/sep-dec04/kepler/index.html retrieved

โดนัทในอุดมคติ

“โดนัทในอุดมคติ”

ใช่แล้วค่ะเรากำลังพูดถึง โดนัทโรยหน้าด้วยน้ำตาลแสนอร่อย โดนัทถ้าจะให้อร่อย ต้องโรยน้ำตาลให้ทั่วชิ้นโดนัทใช่หรือไม่ โดนัทในอุดมคติของผู้เขียนนอกจากจะอร่อยแล้วจะต้องดูดี นั่นคือ น้ำตาลที่โรยไปลงบนชิ้นโดนัทจะต้องมีการกระจายอย่างสม่ำเสมอ ไม่ไปเกาะตัวหนาแน่นอยู่ ณ จุดใดจุดหนึ่งบนชิ้นโดนัทแล้วทำอย่างไรเราจึงจะได้มาซึ่งโดนัทในอุดมคตินั้นเล่า คำตอบแบบกำปั้นทุบดินก็คือ “ก็ไปถามคนทำโดนัทดูสิ” อย่างไรก็ตามนักคณิตศาสตร์ก็มีคำตอบให้เหมือนกัน Ed Saff และ Doug Hardin นักคณิตศาสตร์จาก Vanderbilt University สหรัฐอเมริกา ได้ทำการศึกษาเกี่ยวกับการกระจายของจุดบนพื้นผิวชนิดต่าง ๆ และได้ค้นพบวิธีใหม่ที่จะได้มาซึ่งพื้นผิวที่มีการกระจายของจุ *** ย่างสม่ำเสมอ (นั่นคือ ระยะห่างระหว่างแต่ละจุดเท่ากัน) หลักการของพวกเขาตั้งอยู่บนสมมติฐานที่ว่า ระหว่างจุดใด ๆ จะมีแรงผลักระหว่างจุด ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดใดๆ จึงขึ้นอยู่กับแรงผลักระหว่างจุดสองจุดนั้น ๆ สำหรับระบบที่อยู่ในภาวะสมดุล แรงผลักระหว่างอนุภาคคู่ใด ๆ จะแปรผกผันกับระยะห่างระหว่างอนุภาคยกกำลัง n (นั่นคือ รูปทั่วไปของ inverse square law นั่นเอง) โดยพวกเขากำหนดให้ค่า n ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ s เมื่อ s มีค่าน้อย จะเสมือนว่าแต่ละจุดมีแรงพิสัยกว้าง (long-range force) มากระทำ (ตัวอย่างของแรงพิสัยกว้าง เช่น แรงโน้มถ่วง แรงแม่เหล็กไฟฟ้า) เมื่อ s มีค่ามากจะเสมือนว่าแต่ละจุดมีแรงพิสัยแคบ (short-range force) มากระทำ (ตัวอย่างของแรงพิสัยแคบ เช่น แรงดึงดูดระหว่างอะตอม) ลักษณะการวางตัวของจุดภายใต้แรงกระทำระหว่างจุดที่มีพิสัยกว้างและพิสัยแคบ แสดงโดยการกระจายของจุดบนพื้นผิวทอรัส ดังภาพ เมื่อ s มีค่าน้อย จุดจะมากระจุกรวมกันที่ขอบด้านนอกของทอรัส เมื่อ s มีค่ามากขึ้น จุดจะกระจายตัวออกห่างกันมากขึ้น จนกระทั่งถึงค่าวิกฤตของ s ซึ่งจุดจะกระจายตัวอย่างสม่ำเสมอทั่วพื้นผิวทั้งหมด เมื่อ s มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับค่าวิกฤต ระยะห่างระหว่างแต่ละจุดจะเท่ากัน (หรือใกล้เคียง) ถ้าแทนจุดด้วยอนุภาคของน้ำตาลและแทนทอรัสด้วยโดนัท ค่าวิกฤตของ s นี้เองที่จะให้ “โดนัทในอุดมคติ” สิ่งที่ Saff และ Hardin ได้ค้นพบก็คือ ค่าวิกฤตของ s เท่ากับจำนวนมิติของพื้นผิวที่จุดกระจายอยู่ ในกรณีพื้นผิวของทอรัส (หรือโดนัท) ซึ่งมีสองมิติ ค่าของ s มากกว่าหรือเท่ากับ 2 จะให้จุดที่กระจายไปทั่วพื้นผิวทอรัสโดยมีระยะห่างระหว่างจุดเท่ากัน (ในกรณีของโดนัทโรยน้ำตาล ค่าs มากกว่าหรือเท่ากับ 2 จะให้โดนัทในอุดมคติที่
อณูของน้ำตาลกระจายตัวอย่างสม่ำเสมอที่สุด)

ไม่เพียงแต่โดนัทเท่านั้น แนวคิดดังกล่าวสามารถนำไปใช้อธิบายปรากฏการณ์ทางธรรมชาติต่าง ๆ เช่น การกระจายของสปอร์ในเกสรตัวผู้ การกระจายของอิเล็กตรอนบนพื้นผิวของทรงกลม โครงสร้างพื้นผิวของไวรัสบางชนิด ตำแหน่งของรอยแตกในโครงสร้างผลึก นอกจากนี้ยังสามารถนำไปประยุกต์ใช้ในงานคอมพิวเตอร์กราฟฟิค การวางตำแหน่งโซนาร์สำหรับตรวจหาเรือดำน้ำ และการทดสอบระบบเรดาร์ในอากาศยาน สำหรับผู้ที่สนใจแนวคิดของ Saff และ Hardin ว่ามีความเป็นมาเป็นไปอย่างไร สามารถหาอ่านได้ในเว็บไซต์ของ Notices of the American Mathematical Society ที่ url http://www.ams.org/notices/200410/fea-saff.pdf
ผู้เขียน : โกสุม กรีทอง อยู่ในส่วน : วิชาการ.คอม >> vMath >> สารคดีคณิตศาสตร์
ที่มาของเรื่อง : Rachel Thomas, “Mouthwatering maths”
http://plus.maths.org/latestnews/sep-dec04/bagel/index.html

เรขาคณิตกับสิงมีชีวิตเล็กๆ

เรขาคณิตกับสิงมีชีวิตเล็กๆ

ท่านผู้อ่านทราบหรือไม่ว่า สิ่งมีชีวิตขนาดกระจ้อยร่อยอย่างมดก็จำเป็นต้องใช้เรขาคณิตกับเขาด้วยเหมือนกัน
โดยธรรมชาติของมด มดจะเดินทางบนเส้นทางที่กำหนดไว้โดยฟีโรโมน เส้นทางที่ว่าแตกแขนงออกเป็นหลายแยก หลายสาย คำถามก็คือ มดหาทางกลับรังถูกได้อย่างไร? มดเคยหลงทางบ้างหรือไม่? และผู้ที่สามาถให้คำตอบได้ก็คือคณะนักวิจัยจากมหาวิทยาลัยเชฟฟิลด์ สหราชอาณาจักร
Duncan Jackson และคณะได้ทำการศึกษาพฤติกรรมของมดและตั้งข้อสังเกตว่ามดสปีชีส์ Monomorium Pharaonis และแมลงที่กัดกินใบหลายสปีชีส์สร้างทางเดินออกจากรัง โดยแต่ละเส้นทางที่แตกแขนงออกไปนั้นจะทำมุมระหว่าง 50 – 60 องศา ในการเดินทางกลับรัง เมื่อมดพบทางแยก มันจะเลือกทางที่เบี่ยงน้อยที่สุด คณะของ Duncan ได้ทำการทดลองให้มดเดินทางในเส้นทางจำลองที่คณะของเขาสร้างขึ้น โดยกำหนดให้แต่ละเส้นทางมีทางแยกแตกแขนงออกไปโดยทำมุมขนาดต่าง ๆ กัน แล้วสังเกตว่ามดจะหาทางกลับรังถูกหรือไม่ ผลการทดลองพบว่า มุมที่ดีที่สุดสำหรับมดก็คือ 60 องศา เมื่อเพิ่มขนาดของมุมจาก 60 องศาไปจนถึง 120 องศา โอกาสที่มดจะกลับรังถูกยิ่งน้อยลง ดังนั้นในการสร้างทางเดินของมด เส้นทางที่แตกแขนงออกไปจะทำมุมประมาณ 60 องศา เพื่อลดโอกาสที่จะเสียพลังงานโดยใช่เหตุเนื่องจากเดินหลงทาง เห็นหรือไม่ว่า ฟีโรโมนอย่างเดียวไม่พอที่จะช่วยให้มดไม่หลงทาง ต้องมีเรขาคณิตเป็นปัจจัยเสริมด้วย
ผู้เขียน : โกสุม กรีทอง อยู่ในส่วน : วิชาการ.คอม >> vMath >> สารคดีคณิตศาสตร์
ที่มา : Anna Gosline, “New angle on ants' scents of direction” in NewScientist.com news service 15 Dec 2004, url:
http://www.newscientist.com/article.ns?id=dn6801