“โดนัทในอุดมคติ”
ใช่แล้วค่ะเรากำลังพูดถึง โดนัทโรยหน้าด้วยน้ำตาลแสนอร่อย โดนัทถ้าจะให้อร่อย ต้องโรยน้ำตาลให้ทั่วชิ้นโดนัทใช่หรือไม่ โดนัทในอุดมคติของผู้เขียนนอกจากจะอร่อยแล้วจะต้องดูดี นั่นคือ น้ำตาลที่โรยไปลงบนชิ้นโดนัทจะต้องมีการกระจายอย่างสม่ำเสมอ ไม่ไปเกาะตัวหนาแน่นอยู่ ณ จุดใดจุดหนึ่งบนชิ้นโดนัทแล้วทำอย่างไรเราจึงจะได้มาซึ่งโดนัทในอุดมคตินั้นเล่า คำตอบแบบกำปั้นทุบดินก็คือ “ก็ไปถามคนทำโดนัทดูสิ” อย่างไรก็ตามนักคณิตศาสตร์ก็มีคำตอบให้เหมือนกัน Ed Saff และ Doug Hardin นักคณิตศาสตร์จาก Vanderbilt University สหรัฐอเมริกา ได้ทำการศึกษาเกี่ยวกับการกระจายของจุดบนพื้นผิวชนิดต่าง ๆ และได้ค้นพบวิธีใหม่ที่จะได้มาซึ่งพื้นผิวที่มีการกระจายของจุ *** ย่างสม่ำเสมอ (นั่นคือ ระยะห่างระหว่างแต่ละจุดเท่ากัน) หลักการของพวกเขาตั้งอยู่บนสมมติฐานที่ว่า ระหว่างจุดใด ๆ จะมีแรงผลักระหว่างจุด ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดใดๆ จึงขึ้นอยู่กับแรงผลักระหว่างจุดสองจุดนั้น ๆ สำหรับระบบที่อยู่ในภาวะสมดุล แรงผลักระหว่างอนุภาคคู่ใด ๆ จะแปรผกผันกับระยะห่างระหว่างอนุภาคยกกำลัง n (นั่นคือ รูปทั่วไปของ inverse square law นั่นเอง) โดยพวกเขากำหนดให้ค่า n ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ s เมื่อ s มีค่าน้อย จะเสมือนว่าแต่ละจุดมีแรงพิสัยกว้าง (long-range force) มากระทำ (ตัวอย่างของแรงพิสัยกว้าง เช่น แรงโน้มถ่วง แรงแม่เหล็กไฟฟ้า) เมื่อ s มีค่ามากจะเสมือนว่าแต่ละจุดมีแรงพิสัยแคบ (short-range force) มากระทำ (ตัวอย่างของแรงพิสัยแคบ เช่น แรงดึงดูดระหว่างอะตอม) ลักษณะการวางตัวของจุดภายใต้แรงกระทำระหว่างจุดที่มีพิสัยกว้างและพิสัยแคบ แสดงโดยการกระจายของจุดบนพื้นผิวทอรัส ดังภาพ เมื่อ s มีค่าน้อย จุดจะมากระจุกรวมกันที่ขอบด้านนอกของทอรัส เมื่อ s มีค่ามากขึ้น จุดจะกระจายตัวออกห่างกันมากขึ้น จนกระทั่งถึงค่าวิกฤตของ s ซึ่งจุดจะกระจายตัวอย่างสม่ำเสมอทั่วพื้นผิวทั้งหมด เมื่อ s มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับค่าวิกฤต ระยะห่างระหว่างแต่ละจุดจะเท่ากัน (หรือใกล้เคียง) ถ้าแทนจุดด้วยอนุภาคของน้ำตาลและแทนทอรัสด้วยโดนัท ค่าวิกฤตของ s นี้เองที่จะให้ “โดนัทในอุดมคติ” สิ่งที่ Saff และ Hardin ได้ค้นพบก็คือ ค่าวิกฤตของ s เท่ากับจำนวนมิติของพื้นผิวที่จุดกระจายอยู่ ในกรณีพื้นผิวของทอรัส (หรือโดนัท) ซึ่งมีสองมิติ ค่าของ s มากกว่าหรือเท่ากับ 2 จะให้จุดที่กระจายไปทั่วพื้นผิวทอรัสโดยมีระยะห่างระหว่างจุดเท่ากัน (ในกรณีของโดนัทโรยน้ำตาล ค่าs มากกว่าหรือเท่ากับ 2 จะให้โดนัทในอุดมคติที่อณูของน้ำตาลกระจายตัวอย่างสม่ำเสมอที่สุด)
ไม่เพียงแต่โดนัทเท่านั้น แนวคิดดังกล่าวสามารถนำไปใช้อธิบายปรากฏการณ์ทางธรรมชาติต่าง ๆ เช่น การกระจายของสปอร์ในเกสรตัวผู้ การกระจายของอิเล็กตรอนบนพื้นผิวของทรงกลม โครงสร้างพื้นผิวของไวรัสบางชนิด ตำแหน่งของรอยแตกในโครงสร้างผลึก นอกจากนี้ยังสามารถนำไปประยุกต์ใช้ในงานคอมพิวเตอร์กราฟฟิค การวางตำแหน่งโซนาร์สำหรับตรวจหาเรือดำน้ำ และการทดสอบระบบเรดาร์ในอากาศยาน สำหรับผู้ที่สนใจแนวคิดของ Saff และ Hardin ว่ามีความเป็นมาเป็นไปอย่างไร สามารถหาอ่านได้ในเว็บไซต์ของ Notices of the American Mathematical Society ที่ url http://www.ams.org/notices/200410/fea-saff.pdf
ผู้เขียน : โกสุม กรีทอง อยู่ในส่วน : วิชาการ.คอม >> vMath >> สารคดีคณิตศาสตร์
ที่มาของเรื่อง : Rachel Thomas, “Mouthwatering maths”
http://plus.maths.org/latestnews/sep-dec04/bagel/index.html
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น